练习题
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使用因式定理证明：
a) \((x - 1)\) 是 \(4{x}^{3} - 3{x}^{2} - 1\) 的因式
b) \((x + 3)\) 是 \(5{x}^{4} - 45{x}^{2} - 6x - 18\) 的因式
c) \((x - 4)\) 是 \(-3{x}^{3} + 13{x}^{2} - 6x + 8\) 的因式
使用因式定理：如果 \((x - a)\) 是 \(f(x)\) 的因式，那么 \(f(a) = 0\)。对于 \((x + 3)\)，检验 \(f(-3)\)。
证明 \((x - 1)\) 是 \({x}^{3} + 6{x}^{2} + 5x - 12\) 的因式，并因此完全分解该表达式。
首先用因式定理证明 \((x - 1)\) 是因式，然后用多项式除法或综合除法找到二次因式，最后分解二次式。
已知 \((x - 1)\) 是 \(5{x}^{3} - 9{x}^{2} + 2x + a\) 的因式，求 \(a\) 的值。
使用因式定理：如果 \((x - 1)\) 是因式，那么 \(f(1) = 0\)。代入 \(x = 1\) 并解方程求 \(a\)。
使用因式定理证明 \((2x - 1)\) 是 \(2{x}^{3} + 17{x}^{2} + 31x - 20\) 的因式。
对于因式 \((2x - 1)\)，检验 \(f\left(\frac{1}{2}\right)\)。如果等于0，则证明是因式。
找出 \({x}^{3} - 10{x}^{2} + 19x + 30\) 的一个线性因式，并因此完全分解该表达式。
尝试代入简单的整数（如 ±1, ±2, ±3等）直到找到使函数值为0的值，然后用多项式除法找到剩余因式。
a) 令 \(f(x) = 4{x}^{3} - 3{x}^{2} - 1\)
\(f(1) = 4{(1)}^{3} - 3{(1)}^{2} - 1 = 4 - 3 - 1 = 0\)
因为 \(f(1) = 0\)，所以 \((x - 1)\) 是因式。
b) 令 \(f(x) = 5{x}^{4} - 45{x}^{2} - 6x - 18\)
\(f(-3) = 5{(-3)}^{4} - 45{(-3)}^{2} - 6(-3) - 18\)
\(= 5(81) - 45(9) + 18 - 18 = 405 - 405 + 18 - 18 = 0\)
因为 \(f(-3) = 0\)，所以 \((x + 3)\) 是因式。
c) 令 \(f(x) = -3{x}^{3} + 13{x}^{2} - 6x + 8\)
\(f(4) = -3{(4)}^{3} + 13{(4)}^{2} - 6(4) + 8\)
\(= -3(64) + 13(16) - 24 + 8 = -192 + 208 - 24 + 8 = 0\)
因为 \(f(4) = 0\)，所以 \((x - 4)\) 是因式。
使用因式定理：如果 \((x - a)\) 是 \(f(x)\) 的因式，那么 \(f(a) = 0\)。对于 \((x + 3)\)，检验 \(f(-3)\)。
令 \(f(x) = {x}^{3} + 6{x}^{2} + 5x - 12\)
\(f(1) = {(1)}^{3} + 6{(1)}^{2} + 5(1) - 12 = 1 + 6 + 5 - 12 = 0\)
因为 \(f(1) = 0\)，所以 \((x - 1)\) 是因式。
用多项式除法：
\({x}^{3} + 6{x}^{2} + 5x - 12 = (x - 1)({x}^{2} + 7x + 12)\)
\(= (x - 1)(x + 3)(x + 4)\)
首先用因式定理证明 \((x - 1)\) 是因式，然后用多项式除法找到二次因式，最后分解二次式。
令 \(f(x) = 5{x}^{3} - 9{x}^{2} + 2x + a\)
因为 \((x - 1)\) 是因式，所以 \(f(1) = 0\)
\(f(1) = 5{(1)}^{3} - 9{(1)}^{2} + 2(1) + a = 0\)
\(5 - 9 + 2 + a = 0\)
\(-2 + a = 0\)
\(a = 2\)
使用因式定理：如果 \((x - 1)\) 是因式，那么 \(f(1) = 0\)。代入 \(x = 1\) 并解方程求 \(a\)。
令 \(f(x) = 2{x}^{3} + 17{x}^{2} + 31x - 20\)
检验 \(f\left(\frac{1}{2}\right)\)：
\(f\left(\frac{1}{2}\right) = 2{\left(\frac{1}{2}\right)}^{3} + 17{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2} + 31\left(\frac{1}{2}\right) - 20\)
\(= 2\left(\frac{1}{8}\right) + 17\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{31}{2} - 20\)
\(= \frac{1}{4} + \frac{17}{4} + \frac{31}{2} - 20\)
\(= \frac{18}{4} + \frac{31}{2} - 20 = \frac{9}{2} + \frac{31}{2} - 20 = \frac{40}{2} - 20 = 20 - 20 = 0\)
因为 \(f\left(\frac{1}{2}\right) = 0\)，所以 \((2x - 1)\) 是因式。
对于因式 \((2x - 1)\)，检验 \(f\left(\frac{1}{2}\right)\)。如果等于0，则证明是因式。
令 \(f(x) = {x}^{3} - 10{x}^{2} + 19x + 30\)
尝试 \(x = -1\)：\(f(-1) = {(-1)}^{3} - 10{(-1)}^{2} + 19(-1) + 30 = -1 - 10 - 19 + 30 = 0\)
所以 \((x + 1)\) 是因式。
用多项式除法：
\({x}^{3} - 10{x}^{2} + 19x + 30 = (x + 1)({x}^{2} - 11x + 30)\)
分解二次式：\({x}^{2} - 11x + 30 = (x - 5)(x - 6)\)
因此：\(f(x) = (x + 1)(x - 5)(x - 6)\)
尝试代入简单的整数（如 ±1, ±2, ±3等）直到找到使函数值为0的值，然后用多项式除法找到剩余因式。